Aplicaciones de la Derivada

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones en muchísimos campos de aplicación o áreas del conocimiento, a continuación se muestran algunos ejemplos de áreas en donde se aplique la derivada:

Matemáticas:

En esta área del conocimiento sirve para darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Física:

Velocidad Media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido.

Velocidad Instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando "t" tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Aceleración Instantánea

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo.

Por lo tanto, la aceleración es la segunda derivada del espacio respecto al tiempo.

Economía:

Costo Marginal.

El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un

producto o servicio.

Ahora, supongamos que tenemos una función costoQ(x) que representa el costo por producir x

unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:

Q(x +h)- Q(x):

Al cociente

Q (x + h)- Q (x)

h

Se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el

límite del cociente anterior al tender h a cero,

lím x - 0 Q(x +h) -Q(x)

h

Se le llama costo marginal por producir h unidades adicionales, es decir,

Costo marginal = Q’(x)

Como se analizó anteriormente, en la práctica solamente se conocen puntos aislados de la

gráfica de la función costo, por tanto no es posible, en general, conocer la función que

corresponde a tales puntos de la gráfica de la función costo, es por eso que se recurre a utilizar

lo que se conoce como el análisis marginal, que consiste en determinar el costo por producir la

siguiente unidad por medio de los puntos que se conocen en la gráfica, de la siguiente manera:

Al suponer que se tienen algunos puntos de cierta gráfica y que no se conoce la función costo a

la que corresponden no se puede calcular el costo marginal al producir h unidades adicionales

pero, se puede calcular, por extrapolación, el costo por producir la siguiente unidad, ya que se

conoce el costo en el punto x+1 (además de conocer el costo en el punto x); entonces, el costo

adicional por producir 1 unidad más es:

Q(x+ 1) Q(x):

Si se considera que en la práctica el dominio de la función Q es un subconjunto de los

Números naturales y por tanto que x + h 2 N1, y que además, el punto más próximo a cero es

1, entonces, podemos considerar una aproximación al costo marginal dada por la relación

anterior, de la siguiente manera,

Q(x+ h) Q(x) ¼ Q0(x):

1. Observe que h se encuentra en los naturales.

Cabe mencionar que, para que ésta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la

gráfica de la función costo sea una curva suave, (dentro de determinado intervalo el

comportamiento de la gráfica no varía mucho) y se requiere considerar, además, que se

producen solamente unidades completas (ver ejemplo 3). En el ejemplo 4 se ilustra el caso en

que la función costo no es una curva suave.

Química:

Aplicación de la derivada en Bioquímica y Farmacia.

La aplicación de las derivadas en ingeniería química en general se ocupa para analizar

cuestiones sedes técnicas de cada rama que aprendas, para relacionar las ecuaciones de cargas

estáticas con las ecuaciones de momentos en los que se flexionen.

En química se aplican las derivadas para expresar una variación de concentración de una

sustancia en función del tiempo, en físico-química, variaciones como capacidad calorífica con la

temperatura. En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la

que cambia dicho valor de dicha función matemáticas, según cambio el valor de su variable

independiente.